Prove That √5 is an Irrational Number | सिद्ध करे की √5 एक अपरिमेय संख्या है

1. सिद्ध करे की √5 एक अपरिमेय संख्या है |

उत्तर : माना की √5 एक परिमेय संख्या है इसलिए हम ऐसे दो पूर्णांक r और s जहाँ s ≠ 0 प्राप्त कर सकते है की √5 = r/s 
मान लीजिए r और s के 1 के अतिरिक्त अन्य कुछ गुणनखंड है, तो हम उस उभयनिष्ट गुणनखंड से भाग देकर प्राप्त कर सकते है |
√5=a/b जहाँ a और b, b≠0 सह अभाज्य है |
⇒ b√5=a 
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, 
⇒(b√5)² = (a)²
⇒b²(√5)² = a²
⇒5b²=a²          ...(i)
∴ 5, a² को विभाजित करता है |
प्रमेय से यदि एक अभाज्य संख्या p, a² को विभाजित करता है, तो p, a जहाँ a एक पूर्णांक है, को भी विभाजित करता है |
⇒5, a को विभाजित करता है |        ...(ii)
अत: a=5c जहाँ c कोई पूर्णांक है |
a का मान समी० (i) में रखने पर,
5b² = (5c)²
⇒5b² = 25c²
⇒b² = 5c²
⇒5c² = b²
⇒5,b² को विभाजित करता है |
∵ प्रमेय से यदि एक अभाज्य संख्या p, a² को विभाजित करता है, तो p, a एक पूर्णांक है, को विभाजित करता है |
⇒ 5, b को विभाजित करता है     ....(iii)
समी० (ii) और (iii) से,
a और b का कम-स–कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है | परन्तु यह तथ्य का विरोधाभास है की a और b अविभाज्य है अर्थात इनके 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है |
∴ हमारी यह कल्पना है की √5 एक परिमेय संख्या है, गलत है |
अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है |